آشنایی با اشکال فضایی

اشکال فضایی:

مکعب: یک 6 وجهی می باشد که تمام وجوه آن مربع هستند اگر تمام وجوه آن مستطیل باشد به آن مکعب مستطیل می گویند.

قطر مکعب مستطیل عبارتست از پاره خطی که از یک رأس خارج شده و به رأس دیگر مکعب که در وجه دیگر است، وارد می شود. و اگر اضلاع مکعب به ترتیب c,b,a باشند طول قطر عبارتست از:

مکعب مستطیل 2 قطر دارد که بر داخل مکعب همرسند و همدیگر را نصف می کنند.

نکته:‌ به مجموع مساحت های تمام وجوه یک چند وجهی مساحت کل گویند. ولی اگر فقط مساحت های وجوه جانبی را جمع کنیم به آن مساحت جانبی گویند.

نکته:‌ حجم مکعب ها از ضرب کردن مساحت وجه قاعده در ارتفاع وارد بر آن حاصل می شود. منشور: یک چند وجهی است که دو وجه هم نهشت و موازی دارد و سایر وجهای بین این دو وجه متوازی الاضلاع هستند. دو وجه موازی را قاعده و وجوه دیگر را وجوه جانبی می نامند به همین ترتیب اضلاع این وجوه را هم یال جانبی می نامند. کوتاه ترین پاره خطی که صفحات دو قاعده را به هم وصل می کند را ارتفاع منشور گویند. نکته: مساحت جانبی یک منشور عبارتست از محیط یک قاعده ضرب در ارتفاع. استوانه: استوانه منشوری است که قاعده های همنهشت آن دایره هستند. خطی که مرکز دو دایره را به هم وصل می کند را محور استوانه گویند. در استوانه ی قائم محور همان ارتفاع است. و مساحت جانبی همانند منشور محاسبه می شود حجم استوانه هم مانند منشور مساوی است با مساحت قاعده در ارتفاع. هرم: هرگاه در منشور یکی از قاعده ها را برداشته و وجوه را در یک رأس به هم وصل کنیم هرم حاصل می شود. کوتاه ترین پاره خط که رأس را به قاعده وصل می کند را ارتفاع هرم گویند. ارتفاع هر وجه جانبی هرم را سهم هرم می نامند. مساحت جانبی هرم عبارتست از نصف محیط قاعده ضرب در سهم هرم. مخروط: هرمی است که قاعده آن به جای چند ضلعی دایره باشد و خطی که رأس مخروط را به مرکز دایره وصل کند محور نامیده می شود. همچنین پاره خطی که رأس هرم را به محیط دایره وصل می کند مولد مخروط نامیده می شود. حجم مخروط هم مانند هرم عبارتست از یک سوم مساحت قاعده ضرب در ارتفاع. مساحت جانبی مخروط برابر است با نصف محیط دایره قاعده ضرب در مولد مخروط. کره: مجموعه نقاطی از فضا می باشد که از یک نقطه به نام مرکز به یک فاصله قرار دارند. که این فاصله شعاع کره نام دارد. نکته: مساحت کره و حجم آن برابر است با: احجام ناقص: نکته: در احجام یاد شده اگر صفحه ای موازی با قاعده (به جز دایره) آن حجم را قطع کند یک حجم ناقص و یک حجم جدید پدید می آید این حجم جدید با حجم قبلی متشابه است و دارای یک نسبت تشابه است. نسبت مشاحت حجم جدید به حجم اولیه برابر توان دوم نسبت تشابه و نسبت حجم این دو برابر است با توان سوم نسبت تشابه. نکته: نسبت حجم ناقص را از تفاضل حجم ثانویه از حجم اولیه به دست می آوریم. حجم های محاط و محیط بر یک دیگر: * استوانه محاط در مکعب مستطیل با قاعده مربع: ارتفاع استوانه برابر با ارتفاع مکعب مستطیل و شعاع قاعده استوانه برابر با نصف طول ضلع قاعده است. * مکعب محاط درون استوانه: R= قاعده و h = ارتفاع استوانه و a= ضلع مکعب * هرم محاط درون مکعب: حجم اولیه برابر با حجم مکعب است. * کره محاط در استوانه: h=2R (شعاع کره) R=R (شعاع قاعده استوانه) *کره محاط در مکعب: a=2R *مکعب محاط در کره: (قطر کره) 2R= (قطر مکعب به یال a) *مخروط محاط در مکعب: نکته: اگر مخروطی به شعاع قاعده R و ارتفاع h درون مکعب مربعی به طول یال a محاط شود آن گاه a=2R=h تست: حجم یک مکعب محیط بر یک کره چند برابر حجم مکعبی محاط در همان کره می باشد؟ (سراسری 82) 1- 2- 3- 4- نکته: از دوران مستطیل حول اضلاعش استوانه ای پدید می آید که شعاع قاعده آن یک ضلع و ارتفاع آن ضلع دیگر مستطیل است. نکته: از دوران مستطیل حول یک پاره خط استوانه ای تو خالی حاصل می شود. نکته: از دوران مثلث قائم الزاویه حول اضلاع قائمش، مخروط حاصل می شود.شعاع قاعده a و ارتفاع مخروط b می باشد. نکته: از دوران مثلث قائم الزاویه حول وترش دو مخروط حاصل می شود که از قاعده به یک دیگر متصل می باشند. که شعاع قاعده برابر با ارتفاع وارد بر وتر مثلث بوده و مجموع ارتفاع دو مخروط با یک دیگر مساوی با وتر مثلث می باشد. نکته: از دوران مثلث متساوی الاضلاع حول هر ضلع آن دو مخروط هم حجم حاصل می شود. شعاع قاعده مخروط: ارتفاع مخروط: نکته: هرگاه مربعی حول قطر آن دوران کند، حاصل این دوران دو مخروط با قاعده مشترک است که شعاع قاعده نصف قطر مربع و ارتفاع هر دو مخروط برابر با نصف قطر است.